Las barreras invisibles de Lagrange.

La investigación está revelando una estructura oculta en los líquidos y gases que guía el movimiento de todo lo que es susceptible de desplazarse en su seno, de la polución a los aviones. Hablamos de las estructuras coherentes de Lagrange.

La conexión entre un erudito del siglo XVIII llamado Joseph-Louis Lagrange y el problema de aterrizar con seguridad en el aeropuerto internacional de Hong Kong puede no resultar evidente a primera vista. Pero existe. El aeropuerto de Hong Kong es famoso por los aterrizajes difíciles y movidos, a veces abortados, que provocan los flujos de aire que vienen de las montañas cercanas. Aunque se ha instalado tecnología láser a lo largo de las pistas para monitorizar los cambios en la velocidad del viento y poder prevenir de esta forma a los pilotos, no es suficiente. Lo que hace falta es una mejor comprensión de la propia teoría de los vientos.

Y aquí es donde interviene Lagrange. Fue un pionero en el estudio de los fluidos en movimiento (entre otras muchas cosas), pero sus ideas sobrepasaban la capacidad de cálculo disponible en su época. Hoy día, con el acceso a superordenadores para ayudar con los cálculos, es posible explorar sus ideas completamente. Lo que está surgiendo es un cuadro de la dinámica de fluidos más sutil y más complejo de lo que se podía haber soñado hace una década. La atmósfera y el océano están, por lo que parece, dominados por barreras invisibles que han venido en llamarse estructuras coherentes de Lagrange (LCS, por sus siglas en inglés). Las LCS gobiernan el movimiento de todo, desde las trayectorias de los aviones a la distribución de la polución, pasando por las migraciones de las medusas.

Para comprender lo que es una LCS imaginemos la muchedumbre en una estación de trenes o metro de las grandes. Habrá gente llegando y gente yéndose usando diferentes medios. Sea lo que sea lo que haga, la gente irá y vendrá de distintos andenes, taquillas, tiendas, baños. El resultado es el caos, pero un caos estructurado. Lo que surge es un patrón cambiante de barreras entre grupos de personas con diferentes objetivos. Estas barreras son LCS. Son intangibles, inmateriales y serían indetectables si los pasajeros dejasen de moverse. Pero son lo suficientemente reales como para ser tratadas matemáticamente.

Cualquiera que haya sido arrastrado por una muchedumbre en la dirección que no quería conoce de primera mano una de las características principales de las LCS: forman una barrera al intercambio entre grupos. Si cambiamos a los humanos por las moléculas de aire o agua tenemos un fluido caótico. Y resulta que es más fácil estudiar el comportamiento de estos fluidos centrándose en las barreras que en las masas de fluido que esas barreras separan.

El estudio de la teoría de las LCS lo comenzó hace unos diez años George Haller, entonces en la Universidad de Brown (EE.UU.). Había estado trabajando en el campo de moda (matemática) de la teoría del caos, definida por alguno como una explicación a la búsqueda de un problema, cuando se encontró con un problema apropiado en forma de una montaña de datos acumulados por varios científicos atmosféricos y oceánicos.

Últimamente Haller, ahora en la Universidad McGill (Canadá), se dedica a aplicar junto a sus colaboradores la teoría lagrangiana al problema del despegue y aterrizaje de aviones en condiciones difíciles [1]. Los láseres en las pistas hacen un poco de radares. No pueden ver las moléculas del aire directamente pero sí son capaces de seguir las partículas de aerosol movidas por las corrientes de aire. El efecto Doppler (con el que estamos familiarizados por ser el responsable del cambio de tono en el sonido de la bocina de una locomotora que pasa) permite conocer las velocidades de estas partículas, y los ordenadores de Haller son capaces de analizar estos datos en función de las teorías de Lagrange para descubrir las LCS que dirigen sus movimientos, y el patrón de corrientes ascendentes y descendentes resultante.

Las predicciones iniciales realizadas a partir de los cálculos se acercan bastante a los movimientos reales arriba o abajo de los aviones que aterrizan en Hong Kong y, lo que es más importante, el sistema pone de manifiesto áreas de turbulencia que los métodos tradicionales no detectan. Si todo sigue igual de bien los resultados se incorporarán al sistema de control de tráfico del aeropuerto dentro de unos meses.

Las LCS también son útiles en el mar. François Lekien de la Universidad Libre de Bruselas (Bélgica) en colaboración con Jerry Marsden, del Instituto de Tecnología de California (EE.UU.), ha usado mediciones de radar para hacer con el océano lo que Haller ha hecho con el aire. En este caso el objetivo era predecir el destino de los contaminantes [2].

Los radares de Lekien apuntan a las aguas de la bahía de Monterrey, en California. De nuevo el efecto Doppler permite a su ordenador ver el siempre cambiante patrón lagrangiano en la bahía. Estos datos, una vez elaborados, permiten predecir en un momento dado qué regiones de la bahía llevarán los productos contaminantes a mar abierto y cuáles los confinarán en la costa. Esta información podría facilitar a las autoridades averiguar cuándo es seguro permitir operaciones con riesgo de vertido, como la reparación de buques cisterna

Proyectos similares al de Lekien se están llevando a cabo en Fort Lauderdale (Florida; EE.UU.) y cerca de Brest (en la costa occidental francesa), unas zonas costeras famosas por el peligro para los petroleros. El análisis lagrangiano podría predecir el comportamiento de posibles derrames de crudo con más facilidad. Este análisis del movimiento marino también podría resultar útil a la hora de rescatar a personas cuyos barcos se hayan averiado o en localizar retos de naufragios.

El estudio de las LCS también tiene su utilidad en zoología. Por ejemplo, John Dabiri, del Instituto de Tecnología de California, ha usado la técnica para estudiar el comportamiento de caza de las medusas [3]. Ha demostrado cómo partes del océano están temporalmente a salvo de ellas porque no pueden atravesar las barreras invisibles de Lagrange.

Las LCS pueden aparecer a cualquier escala. Lo que sirve para un aeropuerto o una bahía puede ampliarse para un océano, o el aire encima de él, o reducirse para el flujo bajo el ala de un avión o el casco de un barco.

El resultado es que Haller y sus discípulos han creado una nueva forma de mirar al mundo. Han demostrado que las fronteras entre las cosas son a menudo tan importantes como las propias cosas. Y también han mandado un recordatorio de que la más abstracta de las matemáticas puede algunas veces ser tremendamente práctica.

Referencias:

[1]

W. Tang, P. W. Chan, & G. Haller, Accurate extraction of LCS over finite domains, with application to flight safety analysis over Hong Kong International Airport, CHAOS, pendiente de publicación, (2009). PDF

[2]

C. Coulliette, F. Lekien, J. Paduano, G. Haller & J. Marsden, Optimal pollution mitigation in Monterey Bay based on coastal radar data and nonlinear dynamics, Enviromental Science and Technology 41 (2007) 6562-6572. DOI:10.1021/es0630691. PDF

[3]

Peng J, Dabiri JO (2009) “Transport of inertial particles by Lagrangian coherent structures: application to predator-prey interactions in jellyfish feeding,” Journal of Fluid Mechanics 623: 75-84. DOI:10.1017/S0022112008005089. PDF