Geometría algebraica para encontrar el equilibrio.

Muchas reacciones químicas, de hecho la mayoría, tienen lugar en varios pasos intermedios elementales, y una descripción de la velocidad de reacción del conjunto del proceso implica la necesidad de resolver varias ecuaciones diferenciales de primer orden de forma simultánea. Un sistema de ecuaciones de este tipo sólo se puede resolver sin recurrir a aproximaciones en casos sencillos, hay que tirar de métodos numéricos en el resto de los casos.

Una solución podría ser olvidarse de esas etapas elementales , pero si se obvian los pasos intermedios y sólo se consideran reactivos iniciales y productos finales se llegan a resultados que son diferentes de los observados experimentalmente.

Consideremos ahora una red de reacciones químicas (RRQ) como la de la imagen, que implica a 7 especies y 14 reacciones químicas. Corresponde a la RRQ de la apoptosis celular inducida por receptor ¿Es viable un modelo matemático de esta RRQ? Muy probablemente sí. ¿Y será resoluble, incluyendo por métodos numéricos? Eso ya es más difícil de responder, pues, en general los métodos de resolución convencionales no son suficientes y hay que recurrir a la artillería pesada. Y eso es lo que ha hecho un equipo de científicos españoles de la Universidad de Navarra y del Hospital Clínico de Barcelona.

Iván Martínez Forero, Antonio Peláez López y Pablo Villoslada han publicado en PLoS ONE un artículo en el que presentan un método basado en las técnicas de la geometría algebraica para simplificar los sistemas de ecuaciones de las RRQ, de tal manera que es posible localizar sus estados estacionarios, es decir, sus estados de equilibrio.

Para entender dónde entra aquí el álgebra consideremos esta sencillísima cadena de reacciones: A→B→C. La velocidad de transformación de A en B está gobernada por la constante k₁, y la de B en C por k₂. Por lo tanto el modelo del proceso es así de simple:

Esto es un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias (que es resoluble). Pero si nos fijamos, vemos que también es un conjunto de polinomios constituidos por monomios que representan las velocidades de producción y eliminación de las especies químicas. Y si tenemos sistemas de polinomios, tenemos matrices y vectores y anillos y cuerpos, tenemos álgebra en definitiva, y podemos aplicar sus métodos. Sólo hay un inconveniente, en RRQ complejas como la de la apoptosis, los polinomios no siempre son lineales.

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de una RRQ se puede representar de forma muy sencilla:

Donde N es la matriz estequiométrica, x es el vector de concentración y v es el vector de reacción. La matriz estequiométrica es una matriz m x r, donde m es el número de especies químicas y r el número de reacciones, en la que se representa la proporción de las distintas especies que intervienen en las reacciones de la RRQ. El vector de reacción representa lo que ocurre en la reacción. Así, por ejemplo, para A+B → C el vector adopta la forma [-1,-1,1].

Un aspecto importante en el método presentado por los investigadores es la consideración de las relaciones conservadas. Si s es el rango de N entonces el número de relaciones conservadas es m-s. La relación de conservación da lugar a clases de compatibilidad estequiométrica que tienen una gran importancia en el estudio de las soluciones del equilibrio de las RRQ.

Si queremos hallar los puntos de equilibrio de la RRQ lo único que hemos de hacer, por tanto, es resolver la ecuación vectorial

Es decir, nos enfrentamos a la necesidad de resolver varias variables de un sistema polinómico no lineal. El método se basa en definir un nuevo sistema de ecuaciones que incorpore las relaciones de conservación a una matriz estequiométrica reducida a su forma escalonada, es decir, se basa en la estructura misma de la red sin necesidad de simularla, ni de introducir parámetros. Entonces se calcula la base de Gröbner de este nuevo sistema usando un orden de eliminación. Esto da como resultado un conjunto de polinomios con forma escalonada que identifica la región de equilibrio.

La gran limitación de este método es la capacidad de cálculo necesaria para obtener la base de Gröbner, lo que se puede resolver parcialmente dividiendo la RRQ en subredes. La geometría algebraica podría, entonces, predecir dónde aparecerá un determinado comportamiento dinámico en una RRQ, esto es, nos ayudará a encontrar el equilibrio.

Referencia:

Martínez-Forero, I., Peláez-López, A., & Villoslada, P. (2010). Steady State Detection of Chemical Reaction Networks Using a Simplified Analytical Method PLoS ONE, 5 (6) DOI: 10.1371/journal.pone.0010823

Este artículo es la participación de Experientia docet en la V edición del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog Ciencia.