¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? (How Long Is the Coast Line of Britain?) [1] es un artículo publicado en 1967 por Benoît Mandelbrot (1924-2010) en la revista Science que marcó el inicio de una nueva forma de ver el mundo. A primera vista, la pregunta podría contestarse haciendo mediciones en fotografías por satélites o, para mayor precisión, desde un avión que vuele a lo largo de la costa o, para todavía más precisión, andando a lo largo de ella con una cinta métrica.
Sin embargo, las respuestas obtenidas por estos métodos sólo serían aproximaciones sucesivas a la longitud de la costa de Gran Bretaña. Como señaló Mandelbrot, la longitud obtenida depende de la resolución de la medición, es decir, del tamaño de la curva más pequeña que se pueda ver en una fotografía o ser medible en el lugar. Como consecuencia la línea de costa no tiene una longitud determinable. Análogamente, tampoco un río tiene una longitud determinable. Si analizamos la curva de la costa o la del cauce del río encontraremos que, si las ampliamos, habrá partes de esas curvas que son idénticas con el todo, o muy cercanos a serlo; con una determinada escala de ampliación, el patrón se repetirá a sí mismo. De forma similar, cuanto más ampliamos la fotografía de una nube, más somos conscientes del apilamiento sin fin de estructuras similares más pequeñas que repiten la forma general de la propia nube [2].
El universo está repleto de formas que se repiten a sí mismas a escalas diferentes dentro del mismo objeto. En la terminología de Mandelbrot, se dice que esos objetos son autosimilares.
En el mundo idealizado de las matemáticas, hay figuras bien definidas que son autosimilares y un número infinito de esas figuras pueden generarse por iteración de funciones. Estas figuras tienen propiedades sorprendentes, como que un perímetro sin límites rodee una superficie limitada, o que una superficie sin límites contenga un volumen cero; la explicación está en el hecho de que estas figuras no pertenecen al universo tridimensional que nuestro cerebro de primate percibe. La palabra fractal (creada por Mandelbrot) se creó con la intención de intentar describir una dimensión que no puede expresarse como un número entero; hoy día, sin embargo, “fractal” se suele entender como un conjunto que es autosimilar cuando se amplía.
A diferencia de los fractales matemáticos, no existe ningún objeto en la naturaleza que pueda ser ampliado un número infinito de veces y que siga presentando la misma forma en cada detalle en ampliaciones sucesivas; una de las razones es que átomos y moléculas tienen tamaños finitos. A pesar de ello los modelos fractales pueden aportar aproximaciones útiles de la realidad en un número finito de escalas.
Aparte del propio Mandelbrot [*], muchos científicos han aplicado los fractales como modelos explicativos de distintos fenómenos naturales que incluyen irregularidades a diferentes escalas (algunos ejemplos: redes [3], cinéticas de reacción química [4], ritmo cardíaco [5], estructura a gran escala del universo [6]). Hoy día los fractales se aplican al estudio de materias tan diversas como la mecánica de fluidos, la economía, la lingüística, la formación de cristales, las redes vasculares de los tejidos biológicos y el crecimiento de la población.
Benoît Mandelbrot murió el 14 de octubre. In memoriam.
Imagen: Isla del Conjunto de Mandelbrot es una cortesía de Alexis Monnerot-Dumaine.
Este artículo es la participación de Experientia docet en el VII Carnaval de Matemáticas que este mes organiza El máquina de Turing.
Referencias:
[*] Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. En español, La geometría fractal de la naturaleza. Tusquets (1997).
[1]
Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Science, 156 (3775), 636-638 DOI: 10.1126/science.156.3775.636
3 comentarios:
La geometría fractal: quizás sea el campo de las matemáticas más estrechamente relacionado con la belleza. Prueba de ello es la preciosa imagen que muestras en este artículo.
Un merecido homenaje a una persona que nos abrió todo un universo de asombro y belleza. Gracias, César.
Excelente y sencilla explicación de los fractales, son sorprendentes.
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