La estructura algebraica del universo.

Para el profano toda la matemática es lo mismo y, sin embargo, no todas las matemáticas son creadas iguales. Existe una rama de ellas que es tremendamente abstracta, tanto que sólo los matemáticos especializados en ella le encuentran algún sentido: el álgebra abstracta. Paradójicamente el universo parece recogerse en ella.

El álgebra como abstracción comenzó su camino a finales del siglo XVIII y floreció en el XIX. Sin embargo, cada uno de sus pasos se encontró con la incomprensión de la mayoría de los matemáticos con mentalidades más clásicas (enfocadas a la geometría) o más modernas (fascinadas por el análisis y sus aplicaciones en física e ingeniería). Este fue el caso de Abel, Ruffini, Galois o Grassmann. El caso de este último es muy ilustrativo: hoy día cualquier estudiante universitario que haya tenido un curso de matemáticas ha estudiado a Grassmann sin saberlo, es lo que llamamos álgebra lineal. Grassmann en su día tuvo que abandonar las matemáticas por la incomprensión de un Cauchy, un Möbius o un Hamilton y dedicarse a su otra pasión, el sánscrito, lo que, esta vez sí, le granjeó un doctorado honorífico por la Universidad de Tubinga. Y es que esas abstracciones suyas de vectores y espacios vectoriales no tenían utilidad alguna, no digamos ya grupos, anillos o cuerpos.

En 1960 Eugene Wigner escribió un ensayo titulado “La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales” en el que se maravillaba de que estos productos de la pura abstracción humana, estos grupos y matrices, estos espacios y variedades, terminasen siendo imágenes de cosas reales o procesos reales en el mundo real. Y es que la revolución de la física de la primera mitad del siglo XX encontró apoyo en las ideas más abstractas del siglo XIX para la descripción tanto del universo a gran escala como del interior del átomo. De hecho, las física más especulativa del siglo XXI también se apoya en los aspectos más abstractos del álgebra del siglo XX. Veamos, a título de ilustración y sin ánimo de ser exhaustivos, algunos ejemplos.

Teoría especial de la relatividad (1905)

Las mediciones del espacio y el tiempo realizadas en un marco de referencia pueden ser “traducidas” a mediciones hechas en otro (que se mueve, por supuesto, a una velocidad constante con respecto al primero) mediante la transformación de Lorentz. Estas transformaciones pueden incluirse en un modelo como rotaciones de un sistema de coordenadas en un cierto espacio de cuatro dimensiones. En otras palabras, un grupo deLie (1870).

Teoría general de la relatividad (1916)

El espacioteimpo de cuatro dimensiones se curva (distorsiona) por la presencia de materia y energía. Para describir este fenómeno adecuadamente hemos de recurrir al cálculotensorial, iniciado por Hamilton (1846), desarrollado por Ricci-Curbastro (1890) basándose en Riemann y Grassmann, y popularizado por Levi-Civita (1900).

Mecánica cuántica matricial (1925)

Cuando el joven Werner Heisenberg estaba trabajando con las frecuencias de las radiaciones emitidas por un átomo que “salta” de un estado cuántico a otro, se encontró mirando varios cuadros de datos que tenían como característica que el número de la columna n-ava de la fila m-ava representaba la probabilidad de que un átomo “saltase” del estado m al estado n. La lógica de la situación le indicaba que tenía que multiplicar estos cuadros entre sí y sugirió la única técnica adecuada para hacerlo. Pero, cuando intentó llevar a cabo la multiplicación efectiva, se encontró con la sorpresa de que no era conmutativa. Multiplicar el cuadro A por el cuadro B no era lo mismo que multiplicar el cuadro B por el cuadro A. ¿Qué estaba pasando? Su suerte fue que investigaba en la Universidad de Gotinga y Emmy Noether y David Hilbert le explicaron muy amablemente la teoría de matrices que Cayley ya recogía en un libro de texto (1858), y las contribuciones posteriores de Hamilton, Frobenius y Cauchy, entre otros.

Hadrones y quarks (1964)

Para comienzo de los años 60 del siglo XX los físicos habían descubierto todo un mundo de partículas subatómicas llamadas hadrones. Murray Gell-Mann, a la sazón un joven investigador en el Instituto de Tecnología de California, se dio cuenta de que las propiedades de los hadrones, si bien no seguían un patrón lineal evidente, adquirían sentido como parte de un grupo de Lie, uno que aparece cuando estudiamos las rotaciones en un espacio bidimensional cuyas coordenadas sean números complejos. Trabajando con esta idea y los datos, Gell-Mann se dio cuenta de que su primera impresión era superficial. El grupo equivalente de 3 dimensiones complejas explicaba muchas más cosas pero requería de la existencia de partículas que aún no se habían observado. Gell-Mann se fió de su intuición, sus datos y las matemáticas y publicó lo que había encontrado. Las partículas que había predicho Gell-Mann dieron en llamarse quarks.

Teoría de cuerdas (1985)

Trabajando con algunas ideas de Riemann, Erich Kähler propuso en los años 30 del siglo XX una familia de variedades que tienen una propiedades generales muy interesantes. Cada superficie de Riemann, por ejemplo, es una variedad de Kähler. Entre 1954 y 1957 Eugenio Calabi identificó una subclase de variedades de Kähler y conjeturó que su curvatura debía tener un tipo de simplicidad muy interesante. Esta conjetura de Calabi fue demostrada por Shing-tung Yau en 1977.

En 1985 el grupo de investigación de Edward Witten se refirió a esta subclase de variedad como Calabi-Yau en un trabajo en el que identificaban su lisura (suavidad, ausencia de irregularidades), la simplicidad de su curvatura, como el trasfondo ideal en el que ubicar los movimientos de las cuerdas que, según la teoría, nuestros instrumentos interpretan como toda la variedad de partículas subatómicas y fuerzas, incluida la gravedad. El hecho de que la variedad de Calabi-Yau tenga 6 dimensiones parece muy raro, pero resulta que 3 de ellas están “plegadas” desde nuestra perspectiva macroscópica, de la misma forma que una maroma de barco manifiestamente tridimensional parece unidimensional a una distancia suficiente.

Una vez dije en una conferencia que la física del futuro, la descripción del universo que compartirán nuestros nietos, existe ya en la facultad de matemáticas. Eso sí, puede que la distribución no sea isótropa, y haya algo más concentración en los departamentos de álgebra.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.X del Carnaval deMatemáticas que organiza Resistencia Numantina.