Se busca a Leibton

En La estructura algebraica del universo vimos cómo los avances matemáticos preceden en muchos casos a los descubrimientos de la física. Pero muchos casos no son todos. Ha habido momentos en la historia de la ciencia en los que la física se ha visto estancada por la inexistencia de una matemática que aglutinase, diese coherencia y despejase el camino a seguir. Eso fue lo que consiguieron Newton y Leibniz (tanto monta) con el cálculo. Hoy, la física se encuentra probablemente ante una situación similar. La diferencia con el siglo XVII es que al Leibton que encuentre la solución le espera una recompensa que va más allá de la gloria: un millón de dólares.

Uno de los mayores descubrimientos realizados en la primera mitad del siglo XX fue el comportamiento cuántico del universo. A distancias muy cortas, del orden de la molécula y menores, el comportamiento es muy diferente al del mundo clásico al que estamos acostumbrados.

Es muy común, al menos es nuestra experiencia, que se compartimentalice la teoría cuántica, que mentalmente la limitemos a lo muy pequeño como hemos hecho en el párrafo anterior. Sin embargo la teoría cuántica es fundamental, esto es, pertenece a los fundamentos, los cimientos, sobre los que se construye el universo. Esto quiere decir que gobierna no sólo lo más pequeño sino también lo “clásico”. Ello lleva implícito que tanto matemáticos como físicos hayan tenido y tengan que desarrollar métodos, no sólo para comprender los nuevos fenómenos cuánticos, sino también para reemplazar las teorías clásicas con sus análogas cuánticas.

Este proceso es a lo que se llama “cuantización”. Cuando tenemos un número finito de grados de libertad, como los que puede tener una colección finita de partículas, tenemos un mecanismo matemático muy bien desarrollado para manejar su cuantización que se llama mecánica cuántica, y eso a pesar de que el comportamiento cuántico sea muchas veces contraintuitivo.

Entonces, ¿cual es el problema? Cualquier sistema físico real tiene un número finito de partículas, ¿no? Sí, pero existen cosas que no son partículas, que no son discretas sino continuas, como los campos eléctrico y magnético, en los que el número de grados de libertad es, simple y llanamente, infinito. Esto lo han resuelto los físicos con las llamadas teorías cuánticas de campo; un avance que los matemáticos no terminan de comprender del todo.

Muchas teorías de campo se clasifican como teorías gauge. No nos interesa ahora tanto saber exactamente que es esto del gauge como entender que en estas teorías un conjunto concreto de simetrías, llamado el grupo gauge, actúa tanto sobre los campos como sobre las partículas.

Tenemos dos posibilidades entonces. La primera es que todas las simetrías conmuten; a estas teorías, para no perder las buenas costumbres matemáticas, las llamaremos teorías gauge abelianas. En este caso la cuantización se entiende razonablemente bien. Un ejemplo es la teoría del campo electromagnético, la electrodinámica cuántica, para el que la teoría funciona espectacularmente, haciendo predicciones de una gran precisión.

El primer ejemplo de teoría no abeliana que apareció históricamente fue la teoría de la interacción electrodébil, esto es, la teoría que explica las interacciones con la fuerza electrodébil, la unificación de dos de las cuatro fuerzas fundamentales del universo, el electromagnetismo y la fuerza nuclear débil. Esta teoría requiere de un mecanismo por el que las partículas predichas adquieran masa cuando las observamos. Aquí es donde entra en escena el bosón de Higgs, que parece que está a punto de confirmarse su existencia en el LHC del CERN con una masa en el entorno de los 125 GeV.

El mecanismo por el cual el bosón de Higgs aporta masa a las partículas es un mecanismo clásico que se transplanta a una teoría cuántica. Pero, ¿no estábamos cuantizando? Y ya tenemos un ejemplo estupendo de problema matemático no menor.

Para entender un poco mejor en qué consiste el problema retrocedamos hasta la distinción de teorías gauge en abelianas y no abelianas. Existe una teoría gauge no abeliana llamada Yang-Mills que se espera que describa los quarks y la fuerza nuclear fuerte, la que mantiene unidos los núcleos atómicos y en última instancia hace que el Sol produzca energía, que es la que permite la vida en la Tierra. Aquí vuelve a aparecer una contradicción entre lo cuántico y lo clásico.

La teoría clásica predice que las partículas no tendrán masa y que las fuerzas actúan a larga distancia. Se le pide a la teoría cuántica que reconcilie este “mundo clásico” con fuerzas que son de corto alcance y partículas que tienen masa. Los físicos esperan de ella además que posea varias propiedades matemáticas tales como la “diferencia de masa” (mass gap) y la “libertad asintótica”, lo que permitiría explicar la no existencia de partículas sin masa en los experimentos con interacciones fuertes.

Como estas propiedades no se ven en la teoría clásica y sólo surgen en la teoría cuántica, comprenderlas implica la necesidad de una aproximación matemática rigurosa a la teoría cuántica de Yang-Mills. No existen matemáticas para hacer esto ahora mismo, si bien admitiendo varias aproximaciones y simplificaciones puede entreverse que la teoría cuántica podría tener las propiedades deseadas.

Este problema es lo suficientemente trascendente como para que el Instituto Clay haya establecido una recompensa de un millón de dolares para el vaquero que meta las vacas en el corral, es decir, para el que establezca con rigurosidad matemática la existencia de un mass gap, la no existencia de partículas sin masa en la teoría de Yang-Mills. Ello, recordémoslo una vez más, implica abordar la teoría cuántica de campos en cuatro dimensiones para una teoría gauge no abeliana (se deja al lector como ejercicio).

Y habrá quien diga: “esto es cosa de físicos, ¿qué interés tiene esto para las matemáticas y los matemáticos?” En las últimas décadas los físicos han desarrollado métodos matemáticos para abordar la teoría cuántica de campo, en concreto las integrales de caminos, que son capaces de hacer predicciones precisas en geometría y topología, bien es cierto que con pocas dimensiones. Pero matemáticamente no sabemos qué es una integral de caminos excepto en casos muy sencillos.

Es como si estuviésemos en el siglo XVII, antes de Newton y Leibniz, usando truquitos y mnemotecnias para calcular áreas debajo de las curvas, velocidades y otras computaciones de interés físico. Análogamente hay cálculos en geometría y topología que pueden hacerse de forma no rigurosa usando métodos desarrollados por los físicos en la teoría cuántica de campos que dan las respuestas correctas. Esto sugiere que hay un conjunto de técnicas muy potentes esperando que un o una Leibton lo invente (¿o era descubra?).

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Scientia potentia est