Los triángulos de luz y el sintético a priori

Sabemos por las notas y la correspondencia, publicadas póstumamente, de Carl Friedrich Gauss que éste precedió a János Bolyai y a Nikolái Ivánovich Lobachevsky en el desarrollo de la geometría hiperbólica allá por la década de los veinte del siglo XIX y que llegó al convencimiento de que era lógicamente factible que el propio espacio físico fuese hiperbólico, o no euclídeo.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas, parafraseando a Hilary Putnam, es el descubrimiento más importante en la historia de la ciencia para alguien interesado en el estudio de nuestra capacidad de conocer el universo. Efectivamente, privó a los racionalistas de la existencia del conocimiento sintético a priori y dio a los empiricistas una estupenda pista de cómo el conocimiento matemático podría encontrar acomodo en el empiricismo. Veámoslo someramente.

A principios del siglo XIX todo el mundo daba por sentado que la geometría (euclídea) era un conocimiento a priori y una descripción verdadera de la estructura del espacio. Curiosamente quien más heterodoxo se había mostrado con esta idea, aunque en su tiempo no se expresase de esa manera, fue Leibniz, habitualmente etiquetado como racionalista, que, a diferencia de Newton, no consideraba el espacio como un absoluto dado, sino como las relaciones entre los objetos. A diferencia de las verdades a posteriori, las verdades de la geometría euclidiana parecían prácticamente irrefutables, lo que ponía la posición de los empiricistas en serias dificultades.

De igual forma que hizo falta un Einstein para encontrar una forma de comprobar experimentalmente la existencia de los átomos más allá de toda duda razonable en la forma de sus ecuaciones para el movimiento browniano, fue necesario un Gauss para encontrar que si se combinaban las afirmaciones de Euclides con los conocimientos de óptica, se obtenía una conclusión comprobable experimentalmente sobre la geometría del espacio real. Algo así:

Euclides: Los ángulos de cualquier triángulo suman 180º
Óptica geométrica: La luz viaja en líneas rectas
Conclusión: Los ángulos de cualquier “triángulo de luz” (un triángulo cuyos lados sean rayos de luz) suman 180º

Hasta Gauss (o, para el público en general, hasta Bolyai y Lobachevsky) si las mediciones de un triángulo de luz hubiesen contradicho esta conclusión, automáticamente se hubiese achacado a un defecto en la medida, por mucha precisión que ésta pudiese haber tenido, ya que lo contrario nos habría dejado sin una geometría alternativa. La invención [no descubrimiento, que eso es de platónicos] de las geometrías no euclídeas cambió esta situación.

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